Discussion:Base (algèbre linéaire)

proposition

Une famille de vecteurs est un ensemble de vecteurs.

famille libre

Une famille de vecteurs $(v_{i})_{i=1..n}$ est dite libre si pour une combinaison linéaire S des vecteurs de la famille $S=\sum _{n=1..n}{a_{i}v_{i}}$ telle que $S=0$ alors chacun des coefficients $a_{i}$ est nul. Autrement dit, si la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients $a_{i}$ sont nuls.

famille génératrice

Une famille de vecteurs $(v_{i})_{i=1..n}$ est dite génératrice si, quelque soit le vecteur w, il existe une combinaison linéaire $\sum _{n=1..n}{a_{i}v_{i}}$ qui est égale à w. Autrement dit, tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille.

La théorie de la dimension

La théorie de la dimension est basée sur le nombre minimal G de vecteurs dans une famille génératrice et sur le nombre maximal L de vecteurs dans une famille libre. La théorie montre que l'on a toujours

$L\leq G.$

Si l'on a l'égalité, on dit que le nombre $L=G$ est la dimension de l'espace.

On montre (pour certains espaces vectoriels par l'axiôme du choix) qu'il existe des familles qui sont à la fois libres et génératrices. Ces familles sont qualifiées bases de l'espace. La théorie de la dimension montre que dans les espaces vectoriels de dimension finie sur un corps K, toutes les bases ont le même nombre d'éléments, et que ce nombre est la dimension de l'espace. Ce théorème est appelé théorème d'équicardinalité des bases. On montre ensuite que l'espace vectoriel de dimension n sur le corps K peut être identifié à l'espace K^n. Si K n'est pas un corps mais un anneau, on peut, dans certains cas, établir une théorie de la dimension. L'espace n'est plus alors un espace vectoriel mais un module.Claudeh5 (d) 2 mars 2008 à 12:16 (CET)

Sur le fond, je pense que Claude résume fort bien, le cœur de l'article. Il manque encore un petit zeste d'idée pour les bases topologiques : Hilbert et Schauder, mais l'essentiel est là. La difficulté est de rédiger un article agréable, lisible par un grand nombre (l'article est utilisé par un maximum de pages dans WP). J'imagine un article plus didactique, essentiellement algébrique (une base est avant tout algébrique, même si elle est relié à la géométrie). J'aurais personnellement imaginé un article très orienté vers les grands exemples (bases sur des espaces de dimension finie sur R, C, puis Q et Z, en arithmétique puis vers les corps finis pour la théorie de l'information enfin l'usage des bases en dimension infinie). La partie plus technique étant alors reléguée à des satellites comme Dimension d'un espace vectoriel, module de type fini, Base de Hilbert pour être exhaustif. J'imagine un traitement de cette nature pour séduire le public naturel de l'article : à priori vaste et d'horizons divers en même temps qu'une approche rigoureuse indispensable à une encyclopédie digne de ce nom. Jean-Luc W (d) 4 mars 2008 à 15:48 (CET)

Mieux mais

Bonjour. L'article est mieux qu'avant, certes, MAIS ! Il aurait été bon, à mon avis, de suivre (au moins pour le début), le commentaire en page de discussion de l'article à remplacer: l'article commence par une définition introduite nulle part. Pour le lecteur qui veut savoir ce qu'est une base, il faut commencer par le début:

• famille libre
• famille génératrice
• montrer que les familles libres ont "moins" de vecteurs que les familles génératrices
• la définition formelle des bases intervient là: c'est une famille libre et génératrice.
• théorème d'équicardinalité des bases (et définition de la dimension)...

bon, j'arrête là. Je ne veux pas recopier ce que j'avais dit sur la page de discussion. Claudeh5 (d) 11 mai 2008 à 08:51 (CEST)

Mieux mais, avec une autre analyse

• L'article, une fois bien traité vise un public se situant entre 2 000 et 3 000 visites mois. En conséquence une vase partie des visite est probablement l'œuvre de gens d'un niveau de terminal. Attaquer bille en tête la dimension finie dans le cas d'un K ev me semble trop violent.

• L'article est à haute visibilité, le nous sera fatalement retiré un jour. Cette réforme risque de dénaturer le travail accompli. Il me semble sage de nettoyer un peu.

• Il existe probablement un public averti, (j'imagine de l'ordre de 1 000 visites mois, rien que Base de Hilbert reçoit de plus de 500 visites mois). Il est constitué d'un public intéressé par l'aspect plus avancée. Je vois deux développements importants : celui topologique avec les bases de Schauder dont le cas simple est celui de Hilbert. Le deuxième encore très pauvre est celui des modules (les scalaires sont éléments d'un anneau et non d'un corps). Si l'anneau est principal, on est pas loin de la configuration des K ev. Sinon, il y a des choses à dire. Cette aspect est par exemple utilisé en théorie des nombres.

En conclusion, le troisième point est plus mineur car il ne vise qu'une fraction du public et peut toujours s'ajouter. Les deux autres, s'ils ne sont pas traités entraineront des réformes qui risque de détruire les qualités ajoutées à l'article. Ces deux points ne sont pas en contradiction avec ceux de Claudeh5. Il y a fort à parier qu'il traite de la motivation de visite d'un large public. Jean-Luc W (d) 11 mai 2008 à 13:17 (CEST)

Beaucoup mieux

Au stade où en est la version bac-à-sable, je n'imagine plus quel public préfèrerait l'ancienne version à la nouvelle. A mon avis, un transfert est largement recommandable. Je vois encore quatre pistes d'amélioration possible.

• Une très mineur, l'usage des lettre i et j pour une base en dimension deux me semble un peu dangereux à cause de la possible confusion avec l'espace vectoriel du plan complexe qui donne une autre signification à ces deux lettres. Ce choix ne me semble pas le meilleur dans une encyclopédie dont l'objectif, à terme, est de traiter toute les maths. Je préfère donc u et v. J'ai conscience de l'aspect totalement anecdotique de cette proposition ainsi que la faiblesse de mes justifications.

• J'imagine un enrichissement des différents usages d'une base, déjà présent dans l'encyclopédie. Par exemple une base d'un espace vectoriel fini pour un Code linéaire, ou encore d'une extension finie pour démontrer le théorème de Gauss-Wantzel. J'imagine encore l'usage d'une base de dimension finie d'un idéal d'un anneau d'entiers algébriques pour montrer qu'il est de Dedekind, enfin prendre comme exemple la base des fonctions trigonométriques pour l'analyse harmonique ou les polynômes sur L¹ est sympathique. L'objectif est de montrer qu'une base est d'un usage vaste, le corps peut être quelconque et même ne pas en être un, la dimension est quelconque. L'intérêt du concept dépasse de loin le cadre de l'algèbre linéaire ou la géométrie basique, d'où des exemples en analyse, arithmétique, algèbre général, mathématiques appliquées ...

• La dimension topologique d'un espace vectoriel est essentiel dans le cas de la dimension infinie. Elle modifie la définition purement algébrique. Une base de Hilbert est autant une prise en compte de l'enrichissement de la structure à l'aide d'un produit scalaire que de l'enrichissement à l'aide d'une topologie.

• J'imagine qu'un petit laïus, expliquant, pour la dimension finie, le caractère un peu miraculeux de l'invariant appelé dimension. A la différence des autres structures fondamentales comme les anneaux, les groupes ou les algèbres, la classification est redoutablement simple grâce à cette propriété. La connaissance d'une base offre celle de toute la structure d'un Kev de dim finie. Ce n'est pas le moindre des charmes de ce concept (même si ce n'est pas l'unique intérêt).

En tout les cas bravo, pour le travail déjà accompli. A mes yeux voilà, déjà en l'état actuel, un net progrès par rapport à la version actuelle. Jean-Luc W (d) 16 mai 2008 à 11:26 (CEST)

Mes commentaires

J'ai fait quelques suggestions de corrections sur ma page de brouillon. En particulier, deux points d'exclamation (unicité) dans Définition formelle/Définition manquent, non ? Les paragraphes Existence et Base incomplète sont en forte concurrence ; je me méfie des axiomeduchoitisations donc personnellement, je ne m'embêtrais pas et supprimerais le paragraphe existence. Sinon, il faut discuter directement de la dépendance du TBI par rapport à l'axiome du choix, et sourcer correctement. Et je réclame à nouveau les changements de base ; et à défaut, je le ferais peut-être un jour. Salle (d) 16 mai 2008 à 18:17 (CEST)

Je propose aussi de centraliser la discussion ici jusqu'au transfert. Salle (d) 16 mai 2008 à 19:02 (CEST)

th de la base incomplète

ce serait mieux compréhensible pour un non spécialiste si l'on avait précisé qu'une base était une famille libre maximale (au sens de la cardinalité). De ce fait, on peut toujours compléter une famille libre non maximale pour en faire une famille libre maximale. on en profiterait pour dire qu'une base est, "de même" une famille génératrice minimale.Claudeh5 (d) 17 mai 2008 à 16:52 (CEST)

Existence d'une base

Il est écrit dans l'article que toute Espace Vectoriel admet une base. Hélas il me semble que cela est faux (ex: l'ensemble des suites réels n'admet pas de base). --Marindupuis (discuter) 28 mars 2020 à 18:42 (CET)

Ce théorème (tout e.v. admet une base) suppose l'axiome du choix (auquel il est même équivalent : c'est précisé dans l'article). L'e.v. des suites réelles n'y échappe pas. Anne, 29/3 à 7 h 32